Adobe Illustrator9のSetup.exeのプロパティを開き、
互換性タブで「互換モードでこのプログラムを実行する」にチェックし、
互換モードをWindows XP(Service Pack 3)に設定する。

Setup.exeを実行し、インストールします。
インストール完了後、「C:\Program Files (x86)\Adobe\Illustrator 9.x\Illustrator.exe」の
プロパティを開き、これも互換モードを設定する。

これでソフト自体は動作するようになるのですが、
MSゴシック、MS明朝の文字が真っ白になってしまいます。
これはVISTA以降、文字コードセットが変更されたためらしいです。
以下の方法で解決できます。

XPがインストールされたPCの「C:\WINDOWS\Fonts」フォルダーから
「msgothic.ttc」「msmincho.ttc」をコピーして、
「C:\Program Files (x86)\Adobe\Illustrator 9.x\必須ファイル」フォルダーに貼り付けます。

2017.04.06追記
上記方法でソフトは動作しますが、ファイルを保存するときに必ずエラーが発生します。
はっきりとした原因は分かりませんが、おそらくフォント関連の問題ではないかと思います。
全てにアウトラインをかけて保存するとエラーが出なくなります。